An Introduction to Algebraic Geometry by K. Ueno

By K. Ueno

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Example text

Dann gibt es eine Zerlegung 0 = t0 < t1 . . < tn = 1, so daß jede Teilkurve w([tν−1 , tν ]) in einem U aus U enthalten ist. B. [Kel], p. 154. 8 Vermeidung isolierter Punkte. Sei A ⊂ X eine lokal endliche Menge in einer Fl¨ ache. Zu jedem Weg w in X, dessen Anfangs- und Endpunkt nicht in A liegen, gibt es einen homotopen Weg v , der A nicht trifft. Beweis. Es gibt paarweise disjunkte Scheiben Ua , deren Zentren a die Punkte von A sind. Ganz X wird durch X \ A und alle Scheiben Ua u ¨berdeckt. 7 ist w ein Produkt endlich vieler Teilwege wν , so daß jedes wν in X \A oder einer Scheibe Ua l¨auft.

Beweis. Aus τ ∈ R folgt Q(τ ) ⊂ R. Wenn [Q(τ ) : Q] = 2 ist, gibt es ganze Zahlen k, m, n , so daß kτ 2 = m + nτ . F¨ ur a := kτ folgt aΩ < Ω. Umgekehrt gilt f¨ ur jedes a ∈ R(Ω) (1) a ω1 = α ω1 + β ω2 und a ω2 = γ ω1 + δ ω2 mit α, β, γ, δ ∈ Z . Die zweite Gleichung ergibt a = γτ + δ ∈ Q(τ ). F¨ ur a ∈ Z ist γ = 0, daher τ ∈ Q(a), also Q(a) = Q(τ ) . Wegen (1) ist a ein Eigenwert der Matrix αγ βδ und somit eine Wurzel ihres charakteristischen Polynoms z 2 − (α + δ)z + (αδ − βγ) . Aus a ∈ Z folgt, daß Q(τ ) = Q(a) imagin¨ar quadratisch ist.

Damit l¨ oste er das Jacobische Problem. Umgekehrt konstruierte er die ℘-Funktion zu vorgegebenen Perioden. 3-4 benutzten. 5 Reduzierte Basen. 6. Daß es keine anderen M¨oglichkeiten gibt, liegt an einem Ergebnis u ¨ber lokal endliche Untergruppen der additiven Gruppe C , das im ersten Abschnitt bewiesen wird. Die weiteren Abschnitte behandeln die Darstellung von Torusabbildungen durch lineare Funktionen. 36 2. 1 Reduzierte Basen. Jede additive, lokal endliche Untergruppe Ω = 0 von C ist unendlich zyklisch oder ein Gitter.

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