Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by Rainer Vogt

By Rainer Vogt

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Sommersemester 2010

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I 41 αi2 . . . .  αin−1 ..  .  .  . 11 Die pk lassen sich rekursiv wie folgt berechnen k (n − k)an−k = p0 = n p1 = −an−1 Beweis: f ′ = n i=0 f′ = f an−j pk−j 0≤k≤n an−j pk−j k > n. j=0 k 0 = j=0 i·ai ·X i−1 = n k=1 n n k=1 i=k 1 = X − αk n k=1 (X −αi ). Es folgt wegen f = 1 1 · = X 1 − αXk ∞ n k=1 j=0 i=1 (X −αi ) αki X j+1 Also n n iai X i−1 = i=0 i=0 ∞ ai X i · j=0 α1j + α2j + . . + αnj X j+1 n = i=0 ai X i · ∞ j=0 pj X j+1 Umkehren der Summationsreihenfolge gibt n i=0 n (n − i)an−i X n−i−1 = i=0 j+k=i an−k · pj · X n−i−1 Koeffizientenvergleich ergibt i (n − i)an−i = k=0 i 0 = k=0 an−k · pi−k 0≤i≤n an−k · pi−k i > n.

Zvm ist somit eine freie abelsche Gruppe vom Rang m, aber nicht jede freie abelsche Gruppe vom Rang m bildet ein Gitter in V . √ Beispiel: Z + Z · 2 ⊂ R ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang 2, aber kein Gitter in R. 3 Beispiel: Z · 01 + Z · 10 ⊂ R2 ist das Gitter, das aus allen Punkten in Z × Z ⊂ R × R besteht. Das Einheitsquadrat ist eine Grundmasche. 59 111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 Dieses Gitter ist vollst¨andig. ∈ Z2 aber auch in der Form Da sich m n m n 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 = (m − n) 1 1 +n· 0 1 darstellen l¨aßt, ist dieses Gitter auch durch Z · 10 + Z · 11 mit nebenstehender Grundmasche gegeben.

15 Beispiel: Sei d quadratfrei. Wir ur die qua√ wollen Norm und Spur f¨ dratische Erweiterung Q√⊂ K = Q( d) bestimmen. 9 gibt es genau zwei Q-Morphismen Q( d) → Q, n¨amlich die Identit¨at und √ √ √ √ σ : Q( d) → Q( d) ⊂ Q, d → − d. √ Es folgt f¨ ur α = a + b d √ √ √ SK/Q (a + b√d) = id(α) + σ(α) = a + b√ d + a − b √d = 2a NK/Q (a + b d) = id(α) · σ(α) = (a + b d) · (a − b d) = a2 − db2 . 16 Aufgabe: Sei M ein Monoid und K ein K¨orper. Sei F eine Menge von verschiedenen Homomorphismen f : M → K ∗ .

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