Algebraische Geometrie, Edition: version 16 Jun 2008 by Marc A. Nieper-Wißkirchen

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3 ein Ideal der Form (x1 − a1 , . . 7) mit ai ∈ k. Es folgt, daß m ⊂ ma mit a = (a1 , . . , an ). Nun ist m nach Voraussetzung aber maximal, also m = ma . 2 (Abstrakte) affine Variet¨aten Verm¨oge der Abbildung, die jedem Punkt a sein assoziiertes maximales Ideal ma zuordnet, k¨onnen wir also Z und (Spec k[Z])(k) miteinander identifizieren. 3. 3. Sei k ein algebraisch K¨ orper, Y eine algebraische Teilmenge von Am (k) und Z eine algebraische Teilmenge von An (k), m, n ∈ N0 . Ist dann φ : Y → Z eine regul¨ are Abbildung, so gilt f¨ ur den induzierten Homomorphismus φ∗ : k[Z] → k[Y ], daß ∀a ∈ Y : (φ∗ )−1 (ma ) = mφ(a) .

Allgemeiner bezeichnen wir f¨ ur eine beliebige (endlich erzeugte) kommutative k-Algebra A die Menge der maximalen Ideale von A mit (Spec A)k (k). 2. Sei k ein algebraisch abgeschlossener K¨ orper und f : A → B ein Homomorphismus von k-Algebren. Sei weiter B als k-Algebra endlich erzeugt. F¨ ur jedes maximale Ideal m ⊂ B ist dann f −1 (m) ein maximales Ideal von A, das heißt, wir bekommen eine wohldefinierte Abbildung f −1 : (Spec B)(k) → (Spec A)(k), m → f −1 (m). 2. 4) von k-Algebren sind injektiv.

Sei Y ein Z-Funktor. Dann bezeichnen wir ein Objekt der Kommakategorie ZY als Y -Funktor oder als Z-Funktor u ¨ber Y . Ist X ein Y -Funktor, so nennen wir Y auch die Basis von X. 55 4 Affine Schemata als Z-Funktoren Ein Y -Funktor ist also ein Z-Funktor X zusammen mit einem Morphismus X → Y , dem Strukturmorphismus. 4) Y Y kommutiert. Ist Y = Spec R ein affines Schema, so nennen wir einen Y -Funktor auch einen RFunktor. Wir schreiben dann R := ZSpec R . 5) Allgemein wollen Schemata u ¨ber anderen Schemata relative Schemata nennen.

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