Algebraische Algorithmen by Prof. Dr. Attila Pethö (auth.), Prof. Dr. Michael Pohst

By Prof. Dr. Attila Pethö (auth.), Prof. Dr. Michael Pohst (eds.)

Dr. Attial Pethö ist Dozent für Mathematik an der Kossuth Lajos Universität in Debrecen, Ungarn.

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In der griechischen Mathematik hat guy L ngen, Fl chen, Volumina durch das Ausschopfungsprinzip des EUDOXOS von Knidos (vermutlich 408-355 v. Chr. ) bestimmt: In der Ebene ging guy von der Annahme aus, dass die Flache eines Rechteckes das Produkt seiner Seitenlan gen ist, und erhielt durch geschicktes Teilen und Verschieben von Flachenstucken die Flacheninhalte von einfachen Figuren wie Drei ecken, Trapezen, Parallelogrammen usw .

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Example text

Dann gilt xml + xm2 = x. Beide Elemente xml und xm2 gehoren zu 11 12, wegen x E h nI2 ,ml E h und m2 E 12, Es gilt also x E h . h, und das Lemma ist fur n = 2 bewiesen. Nehmen wir an, dafi die Behauptung richtig ist fur n - 1. Es existieren nach der Voraussetzung mj E Ij und m(j) E In mit mj + m(j) = 1 fur aIle j = 1, ... ,n - 1. Es folgt n-l II (mj + m(j) = 1. j=l Multipliziert man das Produkt von der linken Seite aus, dann bekommt man eine Summe von 2n - l Summanden. Jede Summande ist das Produkt von n-1 Elementen aus R.

1 Es seien Ii, ... ,In E I(R), so daft Ij ist. Dann gilt 11 • .. In + Ik = (1) rur aIle 1 ~ j = Ii n ... n In.

1 Ideale kommutativer Ringe Es sei m ~ 1, I = mZ, a E Z und a + I eine Restklasse beziiglich I. Schreiben wir a = qm + r mit 0 ::; r < m, daIm gilt a + I = r + qm + mZ = r + mZ, es gibt also genau m verschiedene Restklassen modulo I. Ferner gilt a + I = b + I genau dann, wenn a - b E I ist, also wenn mla - b gilt. Wir werden in diesem Fall a == b (mod m) schreiben. Fiir den Restklassenring Z/mZ benutzen wir der Einfachheit halber im weiteren die Bezeichnung Z/m. Die Aussage, daB Z/m ein homomorphes Bild von Z ist, konnen wir mit der Kongruenzrelation folgendermaBen ausdriicken: Wenn al == a2 (mod m) und bl == b2 (mod m) erfiillt sind, dann gilt al + bl == a2 + b2 (mod m) und albl == a2b2 (mod m).

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