Algebra, Funktionalanalysis und Codierung: Eine Einführung by Prof. Dr. rer. nat. Harro Heuser, Prof. Dr.-Ing. Hellmuth

By Prof. Dr. rer. nat. Harro Heuser, Prof. Dr.-Ing. Hellmuth Wolf (auth.)

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In der griechischen Mathematik hat guy L ngen, Fl chen, Volumina durch das Ausschopfungsprinzip des EUDOXOS von Knidos (vermutlich 408-355 v. Chr. ) bestimmt: In der Ebene ging guy von der Annahme aus, dass die Flache eines Rechteckes das Produkt seiner Seitenlan gen ist, und erhielt durch geschicktes Teilen und Verschieben von Flachenstucken die Flacheninhalte von einfachen Figuren wie Drei ecken, Trapezen, Parallelogrammen usw .

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D) Mist abgeschlossen <=> der Grenzwert jeder konvergenten Foige aus M gehOrt zu M. e) M liegt dieht in N ;;2 M (N eine Teilmenge von X) <=> jeder Punkt aus N ist Grenzwert einer Foige aus M. Ein weiterer fundamentaler Begriff laBt sieh in metrischen Raumen ebenfalls mittels Foigen definieren: M ~ X heiSt kompakt, wenn jede Foige aus Meine Teilfolge besitzt, die gegen einen Punkt aus M konvergiert1). Eine kompakte Menge M ist stets abgeschlossen und beschriinkt (B esc h ran k the i t bedeutet, daB M ganz in einer Kugel liegt) , die Umkehrung braucht aber nicht zu gelten.

Als Ergiinzung unserer obigen Betrachtungen wollen wir aber schon jetzt einige Beispiele hierzu geben. Beispiel 9 In den kommutativen Halbgruppen (Z, +), (a, +) und (R, +) ist 0 das neutrale Element, und jedes Element a besitzt eine (additive) Inverse, niimlich -a. ) sind kommutative Halbgruppen mit dem neutralen Element 1. 1m Unterschied zu Beispiel 4 besitzt nun ausnahmslos jedes Element a die (multiplikative) Inverse Va. Beispiel 11 Die kommutative Halbgruppe (Jm(n, n), +) hat die Nullmatrix (also die Matrix, deren Elemente aIle verschwinden) als neutrales Element, und jedes A E Jm(n, n) besitzt eine (additive) Inverse, niimlich -A.

Die Abbildung a Vgl. Anfang des Beispiels 2 in Nr. 4. 1-+ lal eine Wertfunktion. (ao, at. a2, ... 3 Ringe 49 ab einem Index n + 1 (n darf von der individuellen Folge abhangen). Finite Folgen in Z sind z. B. (1, 0, 2, -3, 0, 0, 0, ... ) , (1, 1, -5,0,0,0, ... ) . In F definieren wir nun Summe und Produkt durch die Vorschriften (ao, at. a2, ... ) + (b o, bt. b2, ... ) := (ao + bo, a1 + bb a2 + b2, ... ) , (ao, ab a2, ... ) . (b o, bb b2, ... ) := (aob o, aOb1 + a1bO, aOb2 + a1b1 + a2bO, ... ) ; allgemein ist das k-te Glied der Summen- bzw.

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